【资料图】

一、题文

已知函数f(x)=3ex−12x2−ax．若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值．若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的最大值．

二、解答

(1){a=1b=3．(2)1+ln3．

三、分析

(1)由题意，函数f(x)=3ex−12x2−ax，故f′(x)=3ex−x−a，则f′(0)=3−a，由题意，知3−a=2，即a=1，又∵f(x)=3ex−12x2−x，则f(0)=3，∴2×0+b=3，即b=3，∴{a=1b=3．(2)由题意，可知：f′′(x)⩾0，即3ex−x−a⩾0恒成立，∴a⩽3ex−x恒成立，设g(x)=3ex−x，则g′(x)=3ex−1，令g′(x)=3ex−1=0，解得：x=−ln3，令g′(x)<0，解得：x<−ln3，令0">g′(x)>0，解得：-\ln 3">x>−ln3，∴g(x)在(−∞,−ln3)上单调递减，在(−ln3,+∞)上单调递增，在x=−ln3处取得极小值，∴g(x)min=g(−ln3)=1+ln3，所以a⩽1+ln3，故a的最大值为1+ln3．

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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